La parabola

1. Usando  la  definición,  hallar la ecuación  de la parábola  que tiene su  foco en  F(2,0)  y su dirección DD es la recta de ecuación x = -2.

Solución:

Trácese la gráfica con los elementos dados.

 

De acuerdo a la definición, un punto  Pero,  Luego, Elevando ambos miembros al cuadrado, se tiene:

 fig. 6.5.1.

De donde y² = 8x es la ecuación de la parábola pedida.

2. Dada la parábola que tiene por ecuación 

x² = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica.

Solución:

la ecuación x² = -6y tiene la forma de la ecuación (4) del teorema 1. Entonces, 2p = -6, de donde p= -3 < 0.

 

Como p < 0, la parábola se abre hacia abajo. El foco se encuentra sobre el eje y en el punto F (0, -p/2). La ecuación de la directriz es la recta ,  es decir,

 Fig 6.5.2

3. Dado el punto del plano B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola  (1).

Determine el foco y la ecuación de la directriz

Solución:
Como se sigue que el punto B(a, b) satisface la ecuación (1) y por lo tanto B pertenece a la parábola.
 
 

Ahora, de acuerdo a la parte ii del teorema 1. con lo cual  En consecuencia, el foco se encuentra localizado  en el punto  y la ecuación de la directriz  es la recta

fig 6.5.3
4. Dada la ecuación (y’)² = 4x’, referida al sistema x’-y’ en donde el nuevo origen es el punto (2, 3). Hallar la ecuación de la gráfica en términos de x e y.

Solución:
La ecuación (y’)² = 4x’ representa en el sistema x’-y’ una parábola con vértice en O’(2, 3). La  parábola  se abre hacia la derecha  y  además  2p = 4, de  donde p = 2.  Con lo cual
= distancia del vértice al foco.
 

   Fig. 6.5.4.

Dado que O’ (2, 3) se deduce de las relaciones (1) y (2) de la sección 6.1.2. que:

de donde 
 

Sustituyendo los valores de x’ e y’ en la ecuación inicial, se obtiene:

Esta  última  ecuación,  representa  una parábola  cuyo vértice es el punto V (2, 3), abierta hacia la derecha y cuya distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz es 1.

5. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de  ecuación x = 2 y cuyo foco está localizado en el punto F(4, 2).

Solución:

Como la directriz es la recta de ecuación x = 2, paralela al eje y, se sigue que el eje focal es paralelo al eje x y como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tiene como ecua- ción y = 2.

El vértice V de la parábola está sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medio entre la directriz y el foco.

Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas del vértice son V(3, 2).

   fig. 6.5.5.

Ahora, la ecuación de la parábola viene dada por:

ó 

6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es:

Solución:

Se debe expresar la ecuación en la forma:

(1)

Así, 

(Completación de cuadrados)

(2) (Factorizando)

Comparando (1) y (2) se deduce q ue: 
 
 
 

 

Así que las coordenadas del vértice son .  Como p = 4 > 0 y la variable lineal es y, se deduce entonces que la parábola se abre hacia arriba. El eje focal es la recta paralela al eje y de ecuación  y el foco se encuentra localizado en el punto , esto es,

 fig. 6.5.6.

La directriz es la recta paralela al eje x, de ecuación ; esto es, 

En la figura 6.5.6. aparece la gráfica de la parábola con todos sus elementos.

7. Para la parábola demostrar que el vértice está en el punto  y que corresponde a un máximo o un mínimo de acuerdo al signo de a.
 

Solución.
La ecuación: , puede escribirse en la forma: .

Completando un cuadrado perfecto en el primer miembro de la última igualdad, se tiene:

Con lo cual,

Al comparar  esta última  ecuación,  con la  igualdad (1)  del teorema 2 (sección 6.1.3.), se deduce que el punto  son las coordenadas del vértice de la parábola y además, 

Ahora, si a > 0, entonces p > 0 y la parábola se abre hacia arriba. En este caso, el punto V corresponde a un punto mínimo de la parábola.

Si a < 0, entonces p < 0 y la parábola se abre hacia abajo. En este caso, el punto V corres- ponde a un punto máximo de la parábola.

8. (Propiedad óptica (o focal) de la parábola)

Demostrar que la normal a la parábola en un punto Q, hace ángulos iguales con la recta que pasa por Q y F y con la paralela al eje focal trazada por el punto.

Solución.

Considere la parábola y² = 2px que aparece en la figura 6.5.7., la normal nn y la tangente
tt a la curva en el punto Q(x₁, y₁). Al trazar las rectas que pasan por Q y F y la paralela al eje focal, se forman los ángulos q y b .
 

   fig. 6.5.7.

Se debe probar que q =b .

La ecuación de la tangente tt a la curva en el punto Q(x₁, y₁) viene dada por: .

De aquí se deduce que  y por lo tanto .
 
 

Ahora, .
 
 

Asi que  (1).
 
 

En el triángulo QFN, se tiene, , de donde .
 
 

Luego, .
 
 

Pero, .     

De esta forma:

 
    

(puesto que y₁²=2Px₁)
 
    

 
    

 
 

Es decir,  .
 
 

Luego,  y por tanto q = b.

La propiedad demostrada anteriormente, significa que si se supone un espejo parabólico per-
fectamente liso, como el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, todo rayo para- lelo al eje de simetría de la parábola, se refleja pasando por el foco.

Esta propiedad conocida como la propiedad óptica (o focal) de la parábola es utilizada en la construcción de reflectores y de antenas parabólicas.